某创业投资公司拟投资开发

1.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到

（Ⅰ）对于函数模型f(x)=

x

150 +2

当x∈[10,1000]时，f(x)为增函数 …（2分）

f(x)max=f(1000)=

1000

150 +2=

20

3 +2但当x=10时，f(10)=

1

15 +2>

10

5 ，即f(x)≤

x

5 不恒成立

故函数模型y=

x

150 +2不符合公司要求…（6分）

（Ⅱ）对于函数模型g(x)=

10x?3a

x+2 ，即g(x)=10-

3a+20

x+2

当3a+20>0，即a>-

20

3 时递增…（8分）

为使g(x)≤9对x∈[10,1000]恒成立，即要g(1000)≤9,3a+18≥1000,

即a≥

982

3 …（10分）

为使g(x)≤

x

5 对x∈[10,1000]恒成立，即要

10x?3a

x+2 ≤

x

5 ，即x2-48x+15a≥0恒成立，

即（x-24）2+15a-576≥0(x∈[10,1000])恒成立，又x=24∈[10.1000],

故只需15a-576≥0即可，

所以a≥

192

5 …（12分）

综上所述，a≥

982

3 ，所以满足条件的最小的正整数a的值为328…（13分）

2.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元~1000

（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤

x

5 恒成立.（3分）

（Ⅱ）（1）对于函数模型f(x)=

x

150 +2:

当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=

1000

150 +2=

20

3 +2所以f(x)≤9恒成立.（5分）

因为函数

f(x)

x =

1

150 +

2

x 在[10,1000]上是减函数，所以[

f(x)

x ]max=

1

150 +

1

5 >

1

5 .

从而

f(x)

x =

1

150 +

2

x ≤

1

5 ，即f(x)≤

x

5 不恒成立.

故该函数模型不符合公司要求.（8分）

(2)对于函数模型f(x)=4lgx-3:

当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=4lg1000-3=9.

所以f(x)≤9恒成立.（10分）

设g(x)=4lgx-3-

x

5 ，则g′（x）=

4lge

x ?

1

5 .

当x≥10时，g′（x）=

4lge

x ?

1

5 ≤

2lge?1

5 =

lge2?1

5 所以g(x)在[10,1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)=-1所以4lgx-3-

x

5 x

5 ，所以f(x)x

5 恒成立.

故该函数模型符合公司要求.（13分）

3.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元~1

解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f(x)，则公司对函数模型的基本要求：当x∈[10,1 000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③ 恒成立； （Ⅱ）（1）对于函数模型 ：当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，则f(x) max =f(1000)= ，所以f(x)≤9恒成立，因为函数 在[10,1000]上是减函数，所以 ，从而 不恒成立，即 不恒成立，故该函数模型不符合公司要求； （2）对于函数模型f(x)=4lgx-3：当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，则f(x) max =f(1000)=4lg1000-3=9，所以f(x)≤9恒成立.设 ，则g′（x）= ，当x≥10时，g′（x）= ，所以g(x)在[10,1 000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)=-1所以 ，即 ，所以 恒成立，故该函数模型符合公司要求。

4.投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10~1000万元的投资

解答：（1）解：由题意知，公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是：

当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤

x

5 恒成立，

(2)解：对于函数模型f(x)=

x

150 +2,

当x∈[10,1000]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≥1显然恒成立，

若函数f(x)=

x

150 +2≤

x

5 在[10,1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，

又∵（29x）min=290,

∴f(x)=

x

150 +2不恒成立，

综上所述，函数模型f(x)=

x

150 +2满足基本要求①②，但是不满足③，

故函数模型f(x)=

x

150 +2不符合公司要求；

(3)（理）证明：函数模型g(x)=

ax?1 -1,a∈[

1

2 ,1],x∈[10,1000]时，满足增函数，g(x)min=1成立；

欲证x∈[10,1000]时，

ax?1 -1≤

x

5 恒成立，

只需证明x∈[10,1000]时，ax-1≤（

x

5 +1）2恒成立，

只需证明x∈[10,1000]时，a≤

x

25 +

2

x +

2

5 恒成立，

∵y=

x

25 +

2

x +

2

5 在x∈[10,1000]时，单调递增，

∴x=10时，函数取得最小值1,

∵a∈[

1

2 ,1],

∴x∈[10,1000]时，a≤

x

25 +

2

x +

2

5 恒成立，

∴：函数模型g(x)=

ax?1 -1,a∈[

1

2 ,1]符合公司的一个奖励方案.

（文）x∈[10,1000]时，g(x)=

ax?1 -1有意义，∴a≥

1

10 ，∴g(x)min=

10a?1 ?1≥1成立，

∴a≥

1

2 恒成立.

设

ax?1 -1≤

x

5 恒成立，则ax-1≤（

x

5 +1）2恒成立，即a≤

x

25 +

2

x +

2

5 恒成立，

∵y=

x

25 +

2

x +

2

5 在x∈[10,1000]时，单调递增，

∴x=10时，函数取得最小值1,

∴a≤1,

∴a∈[

1

2 ,1].

5.财务管理的项目投资决策题,某公司拟投资A项目,经分析,有关资料

每年折旧=（450000-120000）/5=66000

NCF0=-450000

NCF1=-200000+(320000-150000-66000)*(1-40%)+66000=-71600

NCF2=-120000+(450000-210000-66000)*(1-40%)+66000=50400

NCF3=(450000-210000-66000)*(1-40%)+66000=170400

NCF4=NCF3=170400

NCF5=120000+200000+120000+(450000-210000-66000)*(1-40%)+66000=610400